\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0} · \Gamma(z')=\Gamma_Le^{-2j\beta z'} · z=\frac{Z}{Z_0}=r+jx: \Gamma=\frac{z-1}{z+1}, z=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} z′ da carga para o gerador; sem perdas Γ só gira

Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tg\beta z'}{Z_0+jZ_L\tg\beta z'} · y=\frac1z=YZ_0=g+jb impedância a z′ da carga (sem perdas)

y(d)=\frac{y_L+jt}{1+jy_Lt}, t\equiv\tg\beta d admitância andando d (mesma forma de Z)

\text{ROE}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|} · |\Gamma|=\frac{\text{ROE}-1}{\text{ROE}+1} · RL=-20\log|\Gamma| dB RL ≥ 0; perda de retorno

Z_{max}=Z_0\,\text{ROE} · Z_{min}=\frac{Z_0}{\text{ROE}} · z'_{max}=\frac{\theta_\Gamma}{4\pi}\lambda, mínimos a \pm\frac\lambda4 extremos são reais; 1º máximo; se \theta_\Gamma\lt0, some 360°

P_r=|\Gamma|^2P_i · P_L=\left(1-|\Gamma|^2\right)P_i · ML=-10\log\left(1-|\Gamma|^2\right) dB fração da POTÊNCIA que volta; perda de descasamento

Casado: \Gamma=0, ROE =1 entre gerador e casador; entre casador e carga a onda estacionária continua casador reativo: toda a potência vai à carga

Notação: d = distância da carga até o stub · \ell = comprimento do stub · minúsculas = normalizado stub sem aviso = paralelo e em curto, Z_{0s}=Z_0

Z_{in}=\frac{Z_t^2}{Z_L} · carga real: Z_t=\sqrt{Z_0R_L} Z₀ e R_L reais; ex.: 50→100 Ω ⇒ 70,7 Ω

\ell=\frac{\lambda_t}{4}=\frac{c}{4f_0\sqrt{\varepsilon_{r,t}}} ε_r,t do trecho; (2n+1)\lambda_t/4 também casa, com menos banda

carga complexa (não dá Z_t real direto): ande até V_{max}: Z_t=Z_0\sqrt{\text{ROE}} · até V_{min}: Z_t=\frac{Z_0}{\sqrt{\text{ROE}}} o λ/4 vai nesse ponto (z'_{max}=\frac{\theta_\Gamma\lambda}{4\pi} com \theta_\Gamma\ge0, mín a ±λ/4)

Entre duas linhas: Z_t=\sqrt{Z_{01}Z_{02}} · λ/2: Z_{in}=Z_L 300↔150 Ω: 212 Ω

banda (TEM, carga real fixa), \theta=\frac\pi2\frac{f}{f_0}: |\Gamma(\theta)|=\left[1+\frac{4Z_0R_L}{(R_L-Z_0)^2}\sec^2\theta\right]^{-1/2}

Para |\Gamma|\le\Gamma_m: \cos\theta_m=\frac{\Gamma_m}{\sqrt{1-\Gamma_m^2}}\frac{2\sqrt{Z_0R_L}}{|R_L-Z_0|} · \frac{\Delta f}{f_0}=2-\frac{4\theta_m}{\pi} ex.: 50→100 Ω, \Gamma_m=0{,}1 ⇒ 36,7 %

λ/8: curto z_s=+j (y_s=-j), aberto z_s=-j · λ/4: curto vira aberto (invisível em paralelo), aberto vira curto · λ/2 repete β_s do meio do stub

Stub que FORNECE y_s=jb_s: curto \frac\ell\lambda=\frac{1}{2\pi}\arctan\!\left(-\frac{1}{b_s}\right) · aberto \frac\ell\lambda=\frac{1}{2\pi}\arctan b_s · se der negativo, some 0,5 menor ℓ positivo (< λ/2); curto e aberto diferem de λ/4. Microfita: aberto

Em d: y(d)=1+jb; o stub dá y_s=-jb ⇒ y_{tot}=1 Z₀ real, sem perdas

t (posição), z_L=r+jx: t=\frac{x\pm\sqrt{r\left[(1-r)^2+x^2\right]}}{r-1} (r\ne1) · t=-\frac x2 ou d=\frac\lambda4 (r=1)

\frac d\lambda=\frac{1}{2\pi}\arctan t se t\ge0 · \frac d\lambda=\frac{1}{2\pi}(\pi+\arctan t) se t\lt0 duas soluções; prefira o menor d (mais banda)

b (susceptância no ponto): b=\frac{r^2t-(1-xt)(x+t)}{r^2+(x+t)^2} · atalho |b|=\frac{2|\Gamma_L|}{\sqrt{1-|\Gamma_L|^2}} as duas soluções têm b de sinais opostos

ℓ: curto \frac\ell\lambda=\frac{1}{2\pi}\arctan\frac1b · aberto \frac\ell\lambda=\frac{1}{2\pi}\arctan(-b) · +0,5 se negativo · \ell_1+\ell_2=\frac\lambda2

Pelo ângulo: \Gamma_s=\frac{-jb}{2+jb} ⇒ \frac d\lambda=\frac{\theta_L-\theta_s}{4\pi} (mod 0,5) sem passar por t

Z_{0s}\ne Z_0: use siemens, B=b/Z_0, Y_s=-jY_{0s}\cot\beta\ell · série: troque (r,x)\to(g_L,b_L); x_d=\frac{g_L^2t-(1-b_Lt)(b_L+t)}{g_L^2+(b_L+t)^2}; curto \tg\beta\ell=-x_d, aberto \cot\beta\ell=x_d difícil em coaxial

Roteiro na carta (WTG = ao gerador = horário): 1. marque z_L, gire 180° ⇒ y_L (o círculo de |Γ| é o mesmo). 2. Gire horário até cruzar g=1 (pontos 1\pm jb): d = diferença das leituras WTG (+0,5 se passar pelo zero). 3. Em admitância o curto fica à DIREITA (WTG 0,250) e o aberto à ESQUERDA (WTG 0). 4. Do curto (ou aberto) gire horário pela borda até a susceptância oposta à do ponto ⇒ \ell. 5. Série: mesmo roteiro na carta de Z até r=1. 6. Precisão ≈ 0,005λ: confira analiticamente (y_{tot}=1). ROE → ∞ dentro do stub

Receita analítica (stub paralelo, curto): 1. z_L=Z_L/Z_0=r+jx · 2. t (duas raízes) · 3. d/\lambda · 4. b naquele t · 5. \ell/\lambda com o mesmo b · 6. confira y_{tot}=y(d)+y_s=1 use a mesma raiz (+ ou −) em t, d, b e ℓ

Stub A na carga (ou a d_L dela), B a d_0 (λ/8, 3λ/8…), curto, Z_0. Leve y_L até A: y_A^{(0)}=g+jb; t=\tg\beta d_0 se A não está na carga, ande d_L com y(d)

b_A=-b+\frac{1\pm\sqrt{(1+t^2)g-g^2t^2}}{t} · b_B=\frac{\pm\sqrt{(1+t^2)g-g^2t^2}+g}{g\,t} susceptâncias que cada stub FORNECE (mesmo sinal ±); ℓ pelo bloco C

Região proibida: só há solução se 0\le g\le\frac{1+t^2}{t^2}=\frac{1}{\sen^2\beta d_0} · λ/8 ou 3λ/8 ⇒ g\le2 · λ/4 ⇒ g\le1, b_A=-b\pm\sqrt{g-g^2}, b_B=\pm\frac{\sqrt{g-g^2}}{g} testar ANTES; se cair: trecho de linha antes de A ou mude d_0

Carta: 1. desenhe g=1. 2. gire-o de d_0 PARA A CARGA (anti-horário, 4\pi d_0/\lambda rad) ⇒ círculo auxiliar. 3. y_A^{(0)} anda no seu círculo de g constante (A só soma jb) até tocar o auxiliar ⇒ y_A. 4. Gire y_A de d_0 para o gerador ⇒ 1+jb'. 5. Stub B =-jb'. confira y_{tot}=1

Projete em f_0; em f: \beta\ell\to\beta\ell\frac{f}{f_0} (no trecho d E no stub); recalcule Z_L(f) se a antena depende de f. Monte y_{in}, \Gamma=\frac{1-y_{in}}{1+y_{in}}, RL=-20\log|\Gamma| coaxial: \beta\ell=\frac{2\pi f\sqrt{\varepsilon_r}}{c}\ell; menores d e ℓ ⇒ mais banda

\varepsilon_{ef}=\frac{\varepsilon_r+1}{2}+\frac{\varepsilon_r-1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+12h/w}} · v_p=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{ef}}} · \lambda=\frac{c}{f\sqrt{\varepsilon_{ef}}} λ do stub e do λ/4 usa ε_ef, NÃO ε_r

\frac wh\le1: Z_0=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_{ef}}}\ln\left(\frac{8h}{w}+\frac{w}{4h}\right)

\frac wh\ge1: Z_0=\frac{120\pi}{\sqrt{\varepsilon_{ef}}\left[\frac wh+1{,}393+0{,}667\ln\left(\frac wh+1{,}444\right)\right]} largura do λ/4: ache o w/h que dá Z_t por tentativa

F \equiv\sqrt{1-(f_c/f)^2} (0\lt F\lt1 acima do corte)

k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac{2\pi}{\lambda} · v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} · \eta=\frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_r}} · \lambda=\frac vf · k_c^2=\gamma^2+k^2 meio de preenchimento; \mu_r=1 salvo aviso

k_x=\frac{m\pi}{a}, k_y=\frac{n\pi}{b}, k_c=h=\sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2} rad/m; k_c=h no Sadiku/Cheng; m = meias-ondas em x, n em y

f_c=\frac{vk_c}{2\pi}=\frac{v}{2}\sqrt{\left(\frac ma\right)^2+\left(\frac nb\right)^2} · \lambda_c=\frac{2\pi}{k_c}=\frac{2}{\sqrt{(m/a)^2+(n/b)^2}} deram k_x, k_y numéricos: vk_c/2\pi; TE₁₀: f_c=\frac{v}{2a}, \lambda_c=2a

\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}=kF=\frac{2\pi f}{v}\sqrt{1-\left(\frac{f_c}{f}\right)^2} · \lambda_g=\frac{2\pi}{\beta}=\frac\lambda F · \frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda_g^2}+\frac{1}{\lambda_c^2} f > f_c; calcule F uma vez e reuse

v_p=\frac\omega\beta=\frac vF\gt v · v_g=\frac{d\omega}{d\beta}=vF\lt v · v_pv_g=v^2 energia e sinal viajam com v_g

Z_{TE}=\frac{\omega\mu}{\beta}=\frac\eta F · Z_{TM}=\frac{\beta}{\omega\varepsilon}=\eta F · Z_{TE}Z_{TM}=\eta^2 Z_{TE}\gt\eta\gt Z_{TM}; transversais: E_x=ZH_y, E_y=-ZH_x

Evanescente (f\lt f_c): \gamma=\alpha=\sqrt{k_c^2-k^2}=\frac{2\pi}{\lambda_c}\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_c}\right)^2} Np/m; perda do trecho 8{,}686\,\alpha\ell dB f\ll f_c: \alpha\approx\frac{2\pi}{\lambda_c} (TE₁₀: \pi/a); atenuador

Banda monomodo (a>b): \frac{v}{2a}\lt f\lt\min\left(\frac va,\frac{v}{2b}\right); b\le\frac a2: f_{c10}\lt f\lt2f_{c10} dominante = menor f_c: TE₁₀; depois TE₂₀ ou TE₀₁; TM₁₁ é o 1º TM

Transversais a partir de E_z, H_z (\gamma=j\beta, k_c\ne0): E_x=-\frac{j}{k_c^2}\left(\beta\frac{\partial E_z}{\partial x}+\omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial y}\right) · E_y=\frac{j}{k_c^2}\left(-\beta\frac{\partial E_z}{\partial y}+\omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial x}\right)

H_x=\frac{j}{k_c^2}\left(\omega\varepsilon\frac{\partial E_z}{\partial y}-\beta\frac{\partial H_z}{\partial x}\right) · H_y=-\frac{j}{k_c^2}\left(\omega\varepsilon\frac{\partial E_z}{\partial x}+\beta\frac{\partial H_z}{\partial y}\right) deram só E_z (TM) ou H_z (TE): derive e ache o resto

TE_mn (E_z=0): H_z=H_0\cos\frac{m\pi x}{a}\cos\frac{n\pi y}{b}

E_x=\frac{j\omega\mu}{k_c^2}\frac{n\pi}{b}H_0\cos\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}

E_y=-\frac{j\omega\mu}{k_c^2}\frac{m\pi}{a}H_0\sin\frac{m\pi x}{a}\cos\frac{n\pi y}{b}

H_x=\frac{j\beta}{k_c^2}\frac{m\pi}{a}H_0\sin\frac{m\pi x}{a}\cos\frac{n\pi y}{b}

H_y=\frac{j\beta}{k_c^2}\frac{n\pi}{b}H_0\cos\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b} m,n\ge0, não ambos nulos (∂H_z/∂n = 0 ⇒ cossenos)

TM_mn (H_z=0): E_z=E_0\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}

E_x=-\frac{j\beta}{k_c^2}\frac{m\pi}{a}E_0\cos\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}

E_y=-\frac{j\beta}{k_c^2}\frac{n\pi}{b}E_0\sin\frac{m\pi x}{a}\cos\frac{n\pi y}{b}

H_x=\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}\frac{n\pi}{b}E_0\sin\frac{m\pi x}{a}\cos\frac{n\pi y}{b}

H_y=-\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}\frac{m\pi}{a}E_0\cos\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b} m,n\ge1 (E tangencial nulo ⇒ senos); achar o modo: \sen(k_xx)\Rightarrow m=k_xa/\pi

TE₁₀ (m=1,n=0, k_c=\frac\pi a): H_z=H_0\cos\frac{\pi x}{a} · E_y=-\frac{j\omega\mu a}{\pi}H_0\sin\frac{\pi x}{a} · H_x=\frac{j\beta a}{\pi}H_0\sin\frac{\pi x}{a} · E_x=E_z=H_y=0 E só vertical, máximo em x = a/2

Com E_0 = pico de E_y: E_y=E_0\sen\frac{\pi x}{a} · H_x=-\frac{E_0}{Z_{TE}}\sen\frac{\pi x}{a} · H_z=\frac{j\pi}{\omega\mu a}E_0\cos\frac{\pi x}{a} · instantâneo: E_y=\frac{\omega\mu a}{\pi}H_0\sen\frac{\pi x}{a}\sen(\omega t-\beta z) \mathcal E=\Realp\{Ee^{j\omega t}\}; j\to-\sen, -j\to+\sen

P=\frac{1}{2Z}\iint\left(|E_x|^2+|E_y|^2\right)dx\,dy · TE₁₀: P=\frac{|E_0|^2ab}{4Z_{TE}} E_0 = pico de E_y; se os campos forem RMS, multiplique P por 2

t=\frac{\ell}{v_g}=\frac{\ell}{vF} · atraso extra (ar): \Delta t=\frac\ell c\left(\frac1F-1\right) ⇒ \ell=\frac{c\,\Delta t}{1/F-1} · com dielétrico: \Delta t=\ell\left(\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{cF}-\frac1c\right) atraso grande dá ℓ absurdo: comente atenuação e dispersão

P(z)=P_0e^{-2\alpha z} · \alpha=\frac{P_L}{2P} · perda 8{,}686\,\alpha\ell dB · P_d=P_{saída}\left(e^{2\alpha\ell}-1\right) P_L = potência perdida por metro

TE₁₀ (condutor): \alpha_c=\frac{R_s\left[1+\frac{2b}{a}\left(\frac{f_c}{f}\right)^2\right]}{\eta\,b\,F} Np/m R_s=\sqrt{\pi f\mu_c/\sigma_c}=\frac{1}{\sigma_c\delta_s}; → ∞ em f_c; cai com b maior

Dielétrico: \alpha_d=\frac{\sigma\eta}{2F}=\frac{k\tan\delta}{2F}, \sigma=\omega\varepsilon\tan\delta tan δ ≪ 1; igual para TE e TM

f_c=\frac{p\,v}{2\pi a} · \lambda_c=\frac{2\pi a}{p}; TE_nm: p=p'_{nm} (raiz de J_n') · TM_nm: p=p_{nm} (raiz de J_n) β, λ_g, v_p, v_g, Z_TE, Z_TM: as mesmas de H

H_z=H_0J_n\!\left(\frac{p'_{nm}\rho}{a}\right)\cos n\phi (TE) · E_z=E_0J_n\!\left(\frac{p_{nm}\rho}{a}\right)\cos n\phi (TM)

p'_{11}=1{,}841 · p'_{21}=3{,}054 · p'_{01}=3{,}832 · p_{01}=2{,}405 · p_{11}=3{,}832 · p_{21}=5{,}136 TE₁₁ dominante (\lambda_c=3{,}41a), depois TM₀₁ (2{,}61a), TE₂₁; TE₀₁ = TM₁₁

f_{mnp}=\frac v2\sqrt{\left(\frac ma\right)^2+\left(\frac nb\right)^2+\left(\frac pd\right)^2} paredes perfeitas

TE_mnp: m,n\ge0 (não ambos nulos), p\ge1 · TM_mnp: m,n\ge1, p\ge0 TE₀₁₂ existe; os mais baixos: TE₁₀₁, TE₀₁₁, TM₁₁₀

Dominante = as DUAS maiores dimensões: f_{min}=\frac v2\sqrt{\frac{1}{L_1^2}+\frac{1}{L_2^2}} nome depende do eixo z: b menor ⇒ TE₁₀₁; d menor ⇒ TM₁₁₀; declare o eixo

TM: E_z=E_0\sen\frac{m\pi x}{a}\sen\frac{n\pi y}{b}\cos\frac{p\pi z}{d} · TE: H_z=H_0\cos\frac{m\pi x}{a}\cos\frac{n\pi y}{b}\sen\frac{p\pi z}{d} ondas estacionárias (sem e^{-j\beta z})

TE₁₀₁: E_y=-\frac{j\omega\mu a}{\pi}H_0\sen\frac{\pi x}{a}\sen\frac{\pi z}{d} · H_x=-\frac adH_0\sen\frac{\pi x}{a}\cos\frac{\pi z}{d} · H_z=H_0\cos\frac{\pi x}{a}\sen\frac{\pi z}{d}

Q =2\pi\frac{W_{med}}{\text{energia perdida/ciclo}}=\frac{\omega_0W}{P_L} · \Delta f=\frac{f_0}{Q} largura de banda de meia potência

Q_c do TE₁₀₁: Q_c=\frac{abd\,(a^2+d^2)}{\delta_s\left[2b(a^3+d^3)+ad(a^2+d^2)\right]}, \delta_s=\frac{1}{\sqrt{\pi f_{101}\mu_0\sigma_c}} · cubo: Q=\frac{a}{3\delta_s} dielétrico com perdas: Q_d=\frac{1}{\tan\delta}, \frac1Q=\frac{1}{Q_c}+\frac{1}{Q_d}

\mu_0=4\pi\times10^{-7} H/m · \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12} F/m · c=3\times10^{8} m/s · \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx120\pi\approx377\,\Omega · \eta=\eta_0/\sqrt{\varepsilon_r}

Cobre: \sigma_c=5{,}8\times10^{7} S/m · \mu_c=\mu_0 · \delta_s=\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu_c\sigma_c}} · R_s=\sqrt{\frac{\pi f\mu_c}{\sigma_c}} · \alpha_{\text{dB}}=8{,}686\,\alpha_{\text{Np}} · \omega=2\pi f

☐ 0\lt F\lt1 · ☐ v_p\gt v\gt v_g, v_pv_g=v^2 · ☐ Z_{TE}\gt\eta\gt Z_{TM} · ☐ \lambda_g\gt\lambda · ☐ f em Hz, k_c em rad/m · ☐ α em Np/m · ☐ 0\lt d,\ell\lt\lambda/2 · ☐ duplo stub: g ≤ 1/sen²βd₀ · ☐ y_{tot}=1 · ☐ RL ≥ 0 · ☐ hipóteses adotadas escritas · ☐ unidade em toda resposta (−0,5)