A · Constantes e conversões toda questão
\mu_0=4\pi\times10^{-7} H/m · \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12} F/m · c=3\times10^{8} m/s constantes do vácuo
\eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx120\pi\approx377\,\Omega · \eta=\eta_0\sqrt{\mu_r/\varepsilon_r} impedância do meio; origem do 60/120/377
\alpha_{\text{Np/m}}=\frac{\alpha_{\text{dB/m}}}{8{,}686} · perda do trecho =8{,}686\,\alpha\ell dB deram α em dB/m: passe para Np/m antes de qualquer fórmula
dB: 10\log (potência), 20\log (tensão) · P_{\text{dBm}}=10\log\frac{P}{1\,\text{mW}} razões e potências em dB
1\,\text{rad}=57{,}296^\circ · calculadora em RAD (\tg1=1{,}5574) · pico =\sqrt2\cdotRMS βℓ, ωt e tg sempre em radianos
Unidades: R Ω/m · L H/m · G S/m · C F/m · \alpha Np/m · \beta rad/m · Z Ω · Y S · \Gamma, ROE adimens. · P W · RL dB confira a última linha: −0,5 por unidade errada
p 10^{-12} n 10^{-9} μ 10^{-6} m 10^{-3} k 10^{3} M 10^{6} G 10^{9} · \ln x=2{,}3026\log x
B · Onda no tempo deram v(z,t), f ou λ
\omega=2\pi f · \beta=\frac{2\pi}{\lambda} · v_p=\frac{\omega}{\beta}=\lambda f · T=\frac1f em A\cos(\omega t-\beta z): o que multiplica t é ω, o que multiplica z é β
v_p=\frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} · \lambda=\frac{v_p}{f}=\frac{\lambda_0}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} com dielétrico a onda é mais lenta e λ encolhe
v^+(z,t)=|V_0^+|\,e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z+\phi) onda que vai (-\beta z: anda para +z)
i^+(z,t)=\frac{|V_0^+|}{|Z_0|}e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z+\phi-\theta_{Z_0}) corrente incidente = tensão ÷ Z₀ (sem perdas: mesma fase)
v^-(z,t)=|V_0^-|\,e^{+\alpha z}\cos(\omega t+\beta z+\phi^-) · V_0^-=\Gamma_LV_0^+e^{-2\gamma\ell} onda refletida; carga em z=0 ⇒ V_0^-=\Gamma_LV_0^+
V(z)=V_0^+e^{-\gamma z}+V_0^-e^{\gamma z} · I(z)=\frac{V_0^+e^{-\gamma z}-V_0^-e^{\gamma z}}{Z_0} solução geral (z medido do gerador)
Réguas: z do gerador, z'=\ell-z da carga (no meio, z=z'=\ell/2) desenho com z e z′ misturados: converta antes
-\frac{dV}{dz}=(R+j\omega L)I · -\frac{dI}{dz}=(G+j\omega C)V telegrafistas: ponto de partida se pedir dedução
C · γ e Z₀ deram R, L, G, C e f
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)} quanto a onda encolhe (α) e gira (β) por metro; α, β ≥ 0
Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\frac{R+j\omega L}{\gamma}=\frac{\gamma}{G+j\omega C} razão V/I da onda; Z₀ complexo ⇒ linha com perdas (|\angle Z_0|\le45^\circ)
\sqrt{r\angle\theta}=\sqrt r\angle\frac{\theta}{2} raiz de complexo: sempre em polar
\gamma^2=a+jb ⇒ \alpha=\sqrt{\frac{|a+jb|+a}{2}}, \beta=\sqrt{\frac{|a+jb|-a}{2}} γ sem ângulo (bom quando o ângulo é quase 90°)
D · Os quatro casos calcule antes R/ωL e G/ωC
Sem perdas (R=G=0): \alpha=0, \beta=\omega\sqrt{LC}, v_p=\frac{1}{\sqrt{LC}}, Z_0=\sqrt{L/C} enunciado diz "sem perdas"
Baixas perdas: \alpha\approx\frac12\left(\frac{R}{Z_0}+GZ_0\right), \beta\approx\omega\sqrt{LC} quando \frac{R}{\omega L},\frac{G}{\omega C}\lesssim0{,}1: evita a raiz complexa
Z_0\approx\sqrt{\frac LC}\left[1-\frac{j}{2\omega}\left(\frac RL-\frac GC\right)\right] Z₀ com perdas pequenas (sinal de X₀!)
Sem distorção (\frac RL=\frac GC): \alpha=\sqrt{RG}=\frac{R}{Z_0}=GZ_0, \beta=\omega\sqrt{LC}, Z_0=\sqrt{L/C} real vp não depende de f: pulso não deforma (mas atenua)
Com perdas geral: raiz complexa do bloco C razões maiores que 0,1
TEM: LC=\mu\varepsilon=\frac{1}{v_p^2} · \frac LC=Z_0^2 ⇒ L=\frac{Z_0}{v_p}, C=\frac{1}{Z_0v_p} L e C a partir de Z₀ e vp; teste de coerência
E · Caminho de volta e medidas
R+j\omega L=\gamma Z_0 · G+j\omega C=\frac{\gamma}{Z_0} deram Z₀, α, β → R, L, G, C (divida por ω, não por f)
Z_0 real: R=\alpha Z_0, L=\frac{\beta Z_0}{\omega}, G=\frac{\alpha}{Z_0}, C=\frac{\beta}{\omega Z_0} atalho do caso anterior
Casada: \alpha\ell=\ln\frac{|V_{in}|}{|V_L|} · \beta\ell=(\angle V_{in}-\angle V_L)+2\pi n · P_L=P_{in}e^{-2\alpha\ell} mediram tensões ou potências numa linha casada (a carga atrasa)
Tratar como LT se \ell\gtrsim\lambda/10 · quase-TEM: \frac{|E_z|}{|E_t|}\approx\sqrt{\frac{\omega\varepsilon}{\sigma_c}}\ll1 discursivas
F · Geometrias: 60, 120 ou 377? sempre ln
\eta/2\pi\to 60 (coaxial) · \eta/\pi\to 120 (bifilar) · \eta\to 377 (placas) · com \log_{10}: 138 e 276
Coaxial (a fio central, b raio interno da malha): R=\frac{R_s}{2\pi}\left(\frac1a+\frac1b\right) · L=\frac{\mu}{2\pi}\ln\frac ba
G=\frac{2\pi\sigma}{\ln(b/a)} · C=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)} · Z_0=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac ba ⇒ \frac ba=e^{Z_0\sqrt{\varepsilon_r}/60} projetar coaxial de Z₀ dado
Bifilar (a raio do fio, D entre centros): R=\frac{R_s}{\pi a} · L=\frac{\mu}{\pi}\arccosh\frac{D}{2a}
G=\frac{\pi\sigma}{\arccosh(D/2a)} · C=\frac{\pi\varepsilon}{\arccosh(D/2a)}
Z_0=\frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}}\arccosh\frac{D}{2a} ⇒ \frac{D}{2a}=\cosh\frac{Z_0\sqrt{\varepsilon_r}}{120} projetar bifilar
D\gg2a: Z_0\approx\frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac Da ⇒ \frac Da\approx e^{Z_0\sqrt{\varepsilon_r}/120} · \arccosh x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) aproximação vale se (D/2a)^2\gg1
Placas (w\gg d): R=\frac{2R_s}{w} · L=\frac{\mu d}{w} · G=\frac{\sigma w}{d} · C=\frac{\varepsilon w}{d} · Z_0=\frac{120\pi}{\sqrt{\varepsilon_r}}\frac dw duas fitas paralelas
Microfita: \varepsilon_{ef}=\frac{\varepsilon_r+1}{2}+\frac{\varepsilon_r-1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+12h/w}} · v_p=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{ef}}} trilha sobre plano de terra: primeiro εef
\frac wh\le1: Z_0=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_{ef}}}\ln\left(\frac{8h}{w}+\frac{w}{4h}\right) · \frac wh\ge1: Z_0=\frac{120\pi}{\sqrt{\varepsilon_{ef}}\left[\frac wh+1{,}393+0{,}667\ln\left(\frac wh+1{,}444\right)\right]}
\delta=\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu_c\sigma_c}} · R_s=\sqrt{\frac{\pi f\mu_c}{\sigma_c}}=\frac{1}{\sigma_c\delta} R do metal (\mu_c=\mu_0; Cu \sigma_c=5{,}8\times10^{7} S/m)
\tan\delta=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon} ⇒ G=\omega C\tan\delta · \alpha_c=\frac{R}{2Z_0}, \alpha_d=\frac{GZ_0}{2} G do dielétrico; perda do metal e do isolante
Diâmetros: b/a=D_{ext}/d_{int} (mas R usa raios) · bifilar D/2a=D/d · total do trecho: C\ell, L\ell
G · Complexos e hiperbólicas
a+jb=r\angle\theta: r=\sqrt{a^2+b^2}, \theta=\arctan\frac ba se a\lt0, some 180° ao ângulo
\frac{1}{a+jb}=\frac{a-jb}{a^2+b^2} · j^2=-1, \frac1j=-j dividir complexos: multiplique pelo conjugado
r_1\angle\theta_1\cdot r_2\angle\theta_2=r_1r_2\angle(\theta_1+\theta_2) · \frac{r_1\angle\theta_1}{r_2\angle\theta_2}=\frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2) produto e divisão em polar (ex.: Γ, Z₀)
e^{j\theta}=\cos\theta+j\sen\theta · \Realp\{A\angle\phi\;e^{j\omega t}\}=A\cos(\omega t+\phi) fasor → tempo (\sen x=\cos(x-\frac\pi2))
\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} · \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} · \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x} se a calculadora não tiver hyp
\cosh jx=\cos x · \sinh jx=j\sen x · \tanh jx=j\tg x · \coth jx=-j\cot x por isso sem perdas tanh vira j·tg
\tanh(a+jb)=\frac{\tanh a+j\tg b}{1+j\tanh a\,\tg b}=\frac{\sinh 2a+j\sen 2b}{\cosh 2a+\cos 2b} tanh γℓ com perdas, à mão
\cosh(a+jb)=\cosh a\cos b+j\sinh a\sen b · \sinh(a+jb)=\sinh a\cos b+j\cosh a\sen b
\arctanh x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x} · \ln(\rho\angle\phi)=\ln\rho+j\phi ensaio curto/aberto (φ em rad; βℓ só a menos de nπ)
\beta\ell=360^\circ\frac{\ell}{\lambda} · 2\beta z'=720^\circ\frac{z'}{\lambda} comprimento elétrico em graus
tg e Z repetem a cada \pi (\lambda/2); sen, cos e e^{j\beta\ell} a cada 2\pi (\lambda) βℓ grande: tire múltiplos de π só na tg; em sen/cos, de 2π
(1+x)^{\pm1/2}\approx1\pm\frac x2 (x pequeno) origem das fórmulas de baixas perdas